和差角公式(Trigonometric Identities

和差角公式(Trigonometric Identities

 

除了正余弦定理外,和差角公式是三角学中最重要的定理。正弦函数的和角公式说

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$。

它有点複杂,但从几何的观点,它不过是说某个线段的分解组合。

如图一,设半径为 $$1$$,则

$$\begin{array}{ll}\sin(\alpha +\beta)&=AE=AF+EF=AD\cos\beta +DG\\&=\sin\alpha\cos\beta +OD\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta\end{array}$$

和差角公式(Trigonometric Identities正弦函数的差角公式,还有余弦函数的和差角公式,也都有简单的几何解释。

西元二世纪的托勒密在其《天文学大成》中,说明如何利用正余弦函数的和差角公式,来製作三角函数值表。首先,利用正五、六边形的几何性质,算得 $$\sin 72^\circ$$、$$\cos72^\circ$$、$$\sin60^\circ$$、$$\cos60^\circ$$ 之值。再用差角公式算得 $$\sin12^\circ$$、$$\cos12^\circ$$ 之值。然后利用半角公式(它是和角公式的衍生公式),算得 $$6^\circ$$、$$3^\circ$$、$$1.5^\circ$$、$$0.75^\circ$$ 的正余弦值。再用内差法算得 $$1^\circ$$ 的正余弦值。再用半角公式算得 $$0.5^\circ$$ 的正余弦值。最后,一再使用和角公式,就算得间隔为 $$0.5^\circ$$ 的正余弦函数之值表。

不过托勒密的和差角公式,却是由圆内接四边形的托勒密定理导得的。

托勒密定理说:圆内接四边形两双对边乘积之和等于两对角线之乘积。

如图二,$$AC$$ 为直径,设其长为 $$1$$,则和差角公式(Trigonometric Identities

$$\sin(\alpha +\beta)=\displaystyle\frac{BD}{AC}$$  (正弦定理)

$$=BD={BD} \times{AC}$$

$$={CD}\times{AB}+{AD}\times{BC}$$  (托勒密定理)

$$=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

反之,假设了和差角公式(同时也就假设了积化和差及和差化积公式),我们也可导得托勒密定理。

和差角公式(Trigonometric Identities

如图三,设直径为 $${d}$$,则由 $$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180^\circ$$ 及正弦定理,得

$$\begin{array}{ll} CD\times AB+AD\times BC &= d^2(\sin\angle 1\sin \angle 4+\sin\angle 3\sin \angle 2)\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 4-\angle 1)-\cos(\angle 4+\angle 1)+\cos(\angle 3-\angle 2)-\cos(\angle 3+\angle 2)]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 4-\angle 1)+\cos (\angle 3-\angle 2)]\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}AC\times BD&=d^2\sin(\angle 1+\angle 3)\sin (\angle 3+\angle 4)\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 1-\angle 4)-\cos(\angle 1+\angle 3+\angle 3+\angle 4)]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 1-\angle 4)+\cos(\angle 2-\angle 3)]\end{array}$$

就得托勒密定理。

由上可知,和差角公式与托勒密定理是等价的。

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